Как можно доказать что четырехугольник параллелограмм

Как доказать, что четырехугольник — параллелограмм? Для этого можно использовать определение либо один из признаков параллелограмма.

1) Четырехугольник является параллелограммом по определению, если у него противолежащие стороны параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.

kak dokazat chto chetyirehugolnik parallelogramm

ABCD — параллелограмм, если

AB ∥ CD, AD  ∥ BC.

Для доказательства параллельности прямых используют один из признаков параллельности прямых, чаще всего — через внутренние накрест лежащие углы. Для доказательства равенства внутренних накрест лежащих углов можно доказать равенство пары треугольников.

dokazat chto chetyirehugolnik parallelogrammНапример, это могут быть пары треугольников

1) ABC и CDA,

2) BCD и DAB,

3) AOD и COB,

4) AOB и COD.

2) Четырехугольник является параллелограммом, если у него диагонали в точке пересечения делятся пополам.

Чтобы использовать этот признак параллелограмма, надо сначала доказать, что AO=OC, BO=OD.

3) Четырехугольник является параллелограммом, если у него противолежащие стороны параллельны и равны.

Чтобы использовать этот признак параллелограмма, надо сначала доказать, что AD=BC и AD ∥ BC (либо AB=CD и AB ∥ CD).

Для этого можно доказать равенство одной из тех же пар треугольников.

4) Четырехугольник — параллелограмм, если у него противоположные стороны попарно равны.

Чтобы воспользоваться этим признаком параллелограмма, нужно предварительно доказать, что AD=BC и AB=CD.

Для этого доказываем равенство треугольников ABC и CDA или BCD и DAB.

Это — четыре основных способа доказательства того, что некоторый четырехугольник — параллелограмм. Существуют и другие способы доказательства. Например, четырехугольник — параллелограмм, если сумма квадратов его диагоналей равна сумме квадрату сторон. Но, чтобы воспользоваться дополнительными признаками, надо их сначала доказать.

Доказательство с помощью векторов или координат также опирается на определение и признаки параллелограмма, но проводится иначе. Об этом речь будет вестись в темах, посвященных векторам и декартовым координатам.

Определение

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Теорема (первый признак параллелограмма)

Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство

Пусть в четырехугольнике (ABCD) стороны (AB) и (CD) параллельны и (AB = CD).

Проведём диагональ (AC), разделяющую данный четырехугольник на два равных треугольника: (ABC) и (CDA). Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними ((AC) – общая сторона, (AB = CD) по условию, (angle 1 = angle 2) как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых (AB) и (CD) секущей (AC)), поэтому (angle 3 = angle 4). Но углы (3) и (4) накрест лежащие при пересечении прямых (AD) и (BC) секущей (AC), следовательно, (ADparallel BC). Таким образом, в четырехугольнике (ABCD) противоположные стороны попарно параллельны, и, значит, четырехугольник (ABCD) – параллелограмм.

Теорема (второй признак параллелограмма)

Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство

Проведём диагональ (AC) данного четырехугольника (ABCD), разделяющую его на треугольники (ABC) и (CDA).

Эти треугольники равны по трем сторонам ((AC) – общая, (AB = CD) и (BC = DA) по условию), поэтому (angle 1 = angle 2) – накрест лежащие при (AB) и (CD) и секущей (AC). Отсюда следует, что (ABparallel CD). Так как (AB = CD) и (ABparallel CD), то по первому признаку параллелограмма четырёхугольник (ABCD) – параллелограмм.

Теорема (третий признак параллелограмма)

Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник (ABCD), в котором диагонали (AC) и (BD) пересекаются в точке (O) и делятся этой точкой пополам.

Треугольники (AOB) и (COD) равны по первому признаку равенства треугольников ((AO = OC), (BO = OD) по условию, (angle AOB = angle
COD)
как вертикальные углы), поэтому (AB = CD) и (angle 1 = angle
2)
. Из равенства углов (1) и (2) (накрест лежащие при (AB) и (CD) и секущей (AC)) следует, что (ABparallel CD).

Итак, в четырехугольнике (ABCD) стороны (AB) и (CD) равны и параллельны, значит, по первому признаку параллелограмма четырехугольник (ABCD) – параллелограмм.

Свойства параллелограмма:

1. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

2. Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.

3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

Доказательство

1) Пусть (ABCD) – параллелограмм, (AE) – биссектриса угла (BAD).

Углы (1) и (2) равны как накрест лежащие при параллельных прямых (AD) и (BC) и секущей (AE). Углы (1) и (3) равны, так как (AE) – биссектриса. В итоге (angle 3 = angle 1 = angle 2), откуда следует, что треугольник (ABE) – равнобедренный.

2) Пусть (ABCD) – параллелограмм, (AN) и (BM)– биссектрисы углов (BAD) и (ABC) соответственно.

Так как сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна (180^{circ}), тогда (angle DAB + angle ABC =
180^{circ})
.

Так как (AN) и (BM) – биссектрисы, то (angle BAN + angle ABM =
0,5(angle DAB + angle ABC) = 0,5cdot 180^circ = 90^{circ})
, откуда (angle AOB = 180^circ — (angle BAN + angle ABM) =
90^circ)
.

3. Пусть (AN) и (CM) – биссектрисы углов параллелограмма (ABCD).

Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то (angle 2 =
0,5cdotangle BAD = 0,5cdotangle BCD = angle 1)
. Кроме того, углы (1) и (3) равны как накрест лежащие при параллельных прямых (AD) и (BC) и секущей (CM), тогда (angle 2 = angle 3), откуда следует, что (ANparallel CM). Кроме того, (AMparallel CN), тогда (ANCM) – параллелограмм, следовательно, (AN = CM).

Содержание:

С четырехугольником вы уже знакомились на уроках математики. Дадим строгое определение этой фигуры.

Определение четырехугольника:

Четырехугольником называется фигура, состоящая из четырех точек (вершин четырехугольника) и четырех отрезков, которые их последовательно соединяют (сторон четырехугольника). При этом никакие три его вершины не лежат на одной прямой и никакие две стороны не пересекаются.

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

На рисунке 1 изображен четырехугольник с вершинами Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Говорят, что две вершины четырехугольника являются соседними вершинами, если они соединены одной стороной; вершины, которые не являются соседними, называют противолежащими вершинами. Аналогично стороны четырехугольника, имеющие общую вершину, являются соседними сторонами, а стороны, не имеющие общих точек,— противолежащими сторонами. На рисунке 1 стороны Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — соседние для стороны Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения а сторона Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — противолежащая стороне Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения вершины Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — соседние с вершиной Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения а вершина Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — противолежащая вершине Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Четырехугольник обозначают, последовательно указывая все его вершины, причем буквы, которые стоят рядом, должны обозначать соседние вершины. Например, четырехугольник на рисунке 1 можно обозначить Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения или Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения но нельзя обозначать Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Определение

Диагональю четырехугольника называется отрезок, соединяющий две противолежащие вершины.

В четырехугольнике Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения (рис. 2) диагоналями являются отрезки Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решенияСледует отметить, что любой четырехугольник имеет диагональ, которая делит его на два треугольника.

Определение

Периметром четырехугольника называется сумма длин всех его сторон. Периметр четырехугольника (как и треугольника) обозначают буквой Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Любой четырехугольник ограничивает конечную часть плоскости, которую называют внутренней областью этого четырехугольника (на рис. 3, а, б она закрашена).

На рисунке 3 изображены два четырехугольника и проведены прямые, на которых лежат стороны этих четырехугольников. В четырехугольнике Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения эти прямые не проходят через внутреннюю область — такой четырехугольник является выпуклым (рис. 3, а). В четырехугольнике Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения прямые Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения проходят через внутреннюю область — этот четырехугольник является невыпуклым (рис. 3, б).

Определение

Четырехугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону.

Действительно, четырехугольник Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения на рисунке 3, а лежит по одну сторону от любой из прямых Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения В школьном курсе геометрии мы будем рассматривать только

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

выпуклые четырехугольники (другие случаи будут оговорены отдельно).

Определение

Углом (внутренним углом) выпуклого четырехугольника Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения при вершине Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения называется угол Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Угол, смежный с внутренним углом четырехугольника при данной вершине, называют внешним углом четырехугольника при данной вершине.

Углы, вершины которых являются соседними, называют соседними углами, а углы, вершины которых являются противолежащими,— противолежащими углами четырехугольника.

Теорема (о сумме углов четырехугольника)

Сумма углов четырехугольника равна Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Доказательство:

 В данном четырехугольнике Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения проведем диагональ, которая делит его на два треугольника (рис. 4). Поскольку Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решенияПараллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения сумма углов четырехугольника Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения равна сумме всех углов треугольников Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения и Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения то есть равна Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Теорема доказана. 

Пример:

Углы четырехугольника Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения соседние с углом Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения равны, а противолежащий угол  в два раза больше угла Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения (см. рис. 1). Найдите угол Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения если Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Решение:

Углами, соседними с углом Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения являются углы Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения а углом, противолежащим к Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — угол Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения По условию задачи Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Поскольку сумма углов четырехугольника равна Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения то Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Если градусная мера угла Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения равна Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения то градусная мера угла Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения по условию равна Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Отсюда имеем: Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Следовательно, Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Ответ: Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Определение параллелограмма

Определение параллелограмма

Рассмотрим на плоскости две параллельные прямые, пересеченные двумя другими параллельными прямыми (рис. 7).

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

В результате такого пересечения образуется четырехугольник, который имеет специальное название — параллелограмм.

Определение

Параллелограммом называется четырехугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны.

На рисунке 7 изображен параллелограмм Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения в котором Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Пример:

На рисунке 8 Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Докажите, что четырехугольник Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — параллелограмм.

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Решение:

Из равенства треугольников Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения следует равенство углов: Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Углы 1 и 2 являются внутренними накрест лежащими при прямых Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения и секущей Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Аналогично углы 3 и 4 являются внутренними накрест лежащими при прямых Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения и секущей Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения По признаку параллельности прямых имеем: Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Следовательно, в четырехугольнике Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения противолежащие стороны попарно параллельны, т.е. Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — параллелограмм по определению.

Как и в треугольнике, в параллелограмме можно провести высоты (рис. 9).

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Определение

Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, проведенный из точки одной стороны к прямой, которая содержит противолежащую сторону.

Очевидно, что к одной стороне параллелограмма можно провести бесконечно много высот (рис. 9, а),— все они будут равны как расстояния между параллельными прямыми, а из одной вершины параллелограмма можно провести две высоты к разным сторонам (рис. 9, б). Часто, говоря «высота параллелограмма», имеют в виду ее длину.

Свойства параллелограмма

Непосредственно из определения параллелограмма следует, что любые два его соседних угла являются внутренними односторонними при параллельных прямых, которые содержат противолежащие стороны. Это означает, что сумма двух соседних углов параллелограмма равна Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Докажем еще несколько важных свойств сторон, углов и диагоналей параллелограмма.

Теорема (свойства параллелограмма)

В параллелограмме:

  1. противолежащие стороны равны;
  2. противолежащие углы равны;
  3. диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Свойства 1 и 2 иллюстрирует рисунок 10, а, а свойство 3 — рисунок 10, б.

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Доказательство:

Проведем в параллелограмме Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения диагональ Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения (рис. 11) и рассмотрим треугольники Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения 

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

У них сторона Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — общая, Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения и секущей Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения и секущей Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Следовательно, Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения по второму признаку равенства треугольников. Отсюда, в частности, следует, что Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения и Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения А поскольку Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения то Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Следовательно, свойства 1 и 2 доказаны.

Для доказательства свойства 3 проведем в параллелограмме Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения диагонали Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения которые пересекаются в точке Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения (рис. 12).

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Рассмотрим треугольники Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения У них Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения по доказанному, Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения и секущей Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения и секущей Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Следовательно, Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения по второму признаку. Отсюда следует, что Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения т. е. точка Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения является серединой каждой из диагоналей Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения и Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Теорема доказана полностью. 

Пример №1

Сумма двух углов параллелограмма равна Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Найдите углы параллелограмма.

Решение:

Пусть дан параллелограмм Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Поскольку сумма двух соседних углов параллелограмма равна Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения то данные углы могут быть только противолежащими. Пусть Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Тогда по свойству углов параллелограмма Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Сумма всех углов параллелограмма равна Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения поэтому Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Ответ: Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Пример №2

В параллелограмме Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения биссектриса угла Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения делит сторону Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения пополам. Найдите периметр параллелограмма, если Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Решение:

Пусть в параллелограмме Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения биссектриса угла Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения пересекает сторону Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения в точке Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решенияПараллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения(рис. 13). Заметим, что Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения поскольку Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения— биссектриса угла Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения и секущей Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Отсюда Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения т.е. по признаку равнобедренного треугольника треугольник Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — равнобедренный с основанием Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения значит, Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения По условию Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решенияСледовательно, поскольку противолежащие стороны параллелограмма равны, то Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Ответ: 36 см.

Признаки параллелограмма

Теоремы о признаках параллелограмма

Для того чтобы использовать свойства параллелограмма, во многих случаях необходимо сначала убедиться, что данный четырехугольник действительно является параллелограммом. Это можно доказать либо по определению (см. задачу в п. 2.1), либо по признакам — условиям, гарантирующим, что данный четырехугольник — параллелограмм. Докажем признаки параллелограмма, которые чаще всего применяются на практике.

Теорема (признаки параллелограмма)

  1. Если две противолежащие стороны четырехугольника параллельны и равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
  2. Если противолежащие стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
  3. Если диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Доказательство:

1) Пусть в четырехугольнике Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решенияПараллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения (рис. 15).

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Проведем диагональ Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения и рассмотрим треугольники Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения и Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Они имеют общую сторону Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения по условию, Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения и секущей Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Следовательно, Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решенияпо первому признаку равенства треугольников. Из равенства этих треугольников следует равенство углов 3 и 4. Но эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения и секущей Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Тогда по признаку параллельности прямых Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Таким образом, в четырехугольнике Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения противолежащие стороны попарно параллельны, откуда следует, что Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — параллелограмм по определению.

2) Пусть в четырехугольнике Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения(рис. 16).

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Снова проведем диагональ Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения и рассмотрим треугольники Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения и Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения В этом случае они равны по третьему признаку: сторона Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — общая, Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения и Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения по условию. Из равенства треугольников следует равенство углов 1 и 2, которые являются внутренними накрест лежащими при прямых Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения и секущей Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения По признаку параллельности прямых Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Следовательно, в четырехугольнике Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения стороны Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения параллельны и равны, и по только что доказанному признаку 1 Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — параллелограмм.

3) Пусть в четырехугольнике Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения диагонали пересекаются в точке Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения и Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения (рис. 17). Рассмотрим треугольники Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Эти треугольники равны по первому признаку: Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения как вертикальные, а Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения и Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения по условию. Следовательно, равны и соответствующие стороны и углы этих треугольников: Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Тогда Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения и Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — параллелограмм по признаку 1.

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Теорема доказана полностью. 

Пример №3

В параллелограмме Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения точки Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — середины сторон Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения соответственно (рис. 18). Докажите, что четырехугольник Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения —параллелограмм.

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Решение:

Рассмотрим четырехугольник Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Стороны Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения и Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения параллельны, т.к. лежат на прямых, содержащих противолежащие стороны параллелограмма Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Кроме того, Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения как половины равных сторон Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решенияпараллелограмма Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Таким образом, в четырехугольнике Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения две стороны параллельны и равны. Следовательно, четырехугольник Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — параллелограмм.

Попробуйте самостоятельно найти другие способы решения этой задачи, основанные на применении других признаков и определения параллелограмма.

Необходимые и достаточные условия

Каждый из признаков параллелограмма указывает на определенную особенность, наличия которой в четырехугольнике достаточно для того, чтобы утверждать, что он является параллелограммом. Вообще в математике признаки иначе называют достаточными условиями. Например, перпендикулярность двух прямых третьей — достаточное условие параллельности данных двух прямых.

В отличие от признаков, свойства параллелограмма указывают на ту особенность, которую обязательно имеет любой параллелограмм. Свойства иначе называют необходимыми условиями. Поясним такое название примером: равенство двух углов необходимо для того, чтобы углы были вертикальными, ведь если этого равенства нет, вертикальными такие углы быть не могут.

В случае верности теоремы «Если Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения то Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения утверждение Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения является достаточным условием для утверждения Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения а утверждение Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — необходимым условием для утверждения Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Схематически это можно представить так:

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Таким образом, необходимые условия (свойства) параллелограмма следуют из того, что данный четырехугольник — параллелограмм; из достаточных условий (признаков) следует то, что данный четырехугольник — параллелограмм.

Сравнивая свойства и признаки параллелограмма, нетрудно заметить, что одно и то же условие (например, попарное равенство противолежащих сторон) является и свойством, и признаком параллелограмма. В таком случае говорят, что условие является необходимым и достаточным. Необходимое и достаточное условие иначе называют критерием. Например, равенство двух углов треугольника — критерий равнобедренного треугольника.

Немало примеров необходимых и достаточных условий можно найти в других науках и в повседневной жизни. Все мы знаем, что воздух — необходимое условие для жизни человека, но не достаточное (человеку для жизни нужно еще много чего, среди прочего — пища). Выигрыш в лотерею — достаточное условие для материального обогащения человека, но оно не является необходимым — ведь улучшить свое финансовое положение можно и другим способом. Попробуйте самостоятельно найти несколько примеров необходимых и достаточных условий.

Виды параллелограммов

Прямоугольник

Определение

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

На рисунке 28 изображен прямоугольник Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Поскольку прямоугольник является частным случаем параллелограмма, он имеет все свойства параллелограмма: противолежащие стороны прямоугольника параллельны и равны, противолежащие углы равны, диагонали точкой пересечения делятся пополам и т.д. Однако прямоугольник имеет некоторые особые свойства. Докажем одно из них.

Теорема (свойство прямоугольника)

Диагонали прямоугольника равны.

Доказательство:

 Пусть дан прямоугольник Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения с диагоналями Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения (рис. 29). Треугольники Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения и Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения прямоугольные и равны по двум катетам Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — общий, Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения как противолежащие стороны прямоугольника). Отсюда следует равенство гипотенуз этих треугольников, т. е. Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения что и требовалось доказать. 

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Имеет место и обратное утверждение (признак прямоугольника): если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником. Докажите это утверждение самостоятельно. Таким образом, можно утверждать, что равенство диагоналей параллелограмма — необходимое и достаточное условие (критерий) прямоугольника.

Опорная задача

Если все углы четырехугольника прямые, то этот четырехугольник — прямоугольник. Докажите.

Решение:

Пусть в четырехугольнике Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решенияПараллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения (см. рис. 28). Углы Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения являются внутренними односторонними при прямых Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения и секущей Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Поскольку сумма этих углов составляет Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения то по признаку параллельности прямых Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Аналогично доказываем параллельность сторон Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Следовательно, по определению параллелограмма Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — параллелограмм. А поскольку все углы этого параллелограмма прямые, то Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — прямоугольник по определению.

Ромб

Определение

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

На рисунке 30 изображен ромб Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Он обладает всеми свойствами параллелограмма, а также некоторыми дополнительными свойствами, которые мы сейчас докажем.

Теорема (свойства ромба)

Диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам.

Эти свойства ромба иллюстрируются рисунком 31.

Доказательство:

 Пусть диагонали ромба Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения пересекаются в точке Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения (рис. 32). Поскольку стороны ромба равны, то треугольникПараллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения  равнобедренный с основанием Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения а по свойству диагоналей параллелограмма точка Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — середина Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решенияСледовательно, отрезок Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — медиана равнобедренного треугольника, которая одновременно является его высотой и биссектрисой. Это означает, что Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения т.е. диагонали ромба перпендикулярны, иПараллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения— биссектриса угла Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Аналогично доказываем, что диагонали ромба являются биссектрисами и других его углов. Теорема доказана. 

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Опорная задача

Если все стороны четырехугольника равны, то этот четырехугольник — ромб. Докажите.

Решение:

Очевидно, что в четырехугольнике, все стороны которого равны, попарно равными являются и противолежащие стороны. Следовательно, по признаку параллелограмма такой четырехугольник — параллелограмм, а по определению ромба параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом.

Решая задачи, помещенные в конце этого параграфа, вы докажете другие признаки прямоугольника и ромба.

Квадрат

На рисунке 33 изображен еще один вид параллелограмма — квадрат.

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Определение

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Иначе можно сказать, что квадрат — это прямоугольник, который является ромбом. Действительно, поскольку квадрат является прямоугольником и ромбом и, конечно же, произвольным параллелограммом, то:

  1. все стороны квадрата равны, а противолежащие стороны параллельны;
  2. все углы квадрата прямые;
  3. диагонали квадрата равны, перпендикулярны, делят углы квадрата пополам и делятся точкой пересечения пополам.

Связь между отдельными видами параллелограммов. Равносильные утверждения

Исходя из определений произвольного параллелограмма и его отдельных видов, мы можем схематически отобразить связь между ними (рис. 34).

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

На схеме представлены множества параллелограммов, прямоугольников и ромбов. Такой способ наглядного представления множеств называют диаграммами Эйлера — Венна. Диаграмма Эйлера — Венна для параллелограммов демонстрирует, что множества прямоугольников и ромбов являются частями (подмножествами) множества параллелограммов, а множество квадратов — общей частью (пересечением) множеств прямоугольников и ромбов. Диаграммы Эйлера — Венна часто используют для подтверждения или проверки правильности логических рассуждений.

Подытоживая материал этого параграфа, обратим также внимание на то, что возможно и другое определение квадрата: квадратом называется ромб с прямыми углами. В самом деле, оба приведенных определения описывают одну и ту же фигуру. Такие определения называют равносильными. Вообще два утверждения называются равносильными, если они или оба выполняются, или оба не выполняются. Например, равносильными являются утверждения «В треугольнике две стороны равны» и «В треугольнике два угла равны», ведь оба они верны, если рассматривается равнобедренный треугольник, и оба ложны, если речь идет о разностороннем треугольнике.

Равносильность двух утверждений также означает, что любое из них является необходимым и достаточным условием для другого. В самом деле, рассмотрим равносильные утверждения «Диагонали параллелограмма равны» и «Параллелограмм имеет прямые углы». Из того, что диагонали параллелограмма равны, следует, что он является прямоугольником, т.е. имеет прямые углы, и наоборот: параллелограмм с прямыми углами является прямоугольником, т.е. имеет равные диагонали. На этом примере легко проследить логические шаги перехода от признаков фигуры к ее определению и далее — к свойствам. Такой переход довольно часто приходится выполнять в процессе решения задач.

Трапеция

Как известно, любой параллелограмм имеет две пары параллельных сторон. Рассмотрим теперь четырехугольник, который имеет только одну пару параллельных сторон.

Определение

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Параллельные стороны трапеции называют ее основаниями, а непараллельные стороны — боковыми сторонами. На рисунке 37 в трапеции Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения стороны Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения являются основаниями, а Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — боковыми сторонами.

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Углы, прилежащие к одной боковой стороне, являются внутренними односторонними при параллельных прямых, на которых лежат основания трапеции. По теореме о свойстве параллельных прямых из этого следует, что сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения На рисунке 37 Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Определение

Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведенный из точки одного основания к прямой, содержащей другое основание.

Очевидно, что в трапеции можно провести бесконечно много высот (рис. 38),— все они равны как расстояния между параллельными прямыми.

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Чаще всего в процессе решения задач высоты проводят из вершин углов при меньшем основании трапеции.

Частные случаи трапеций

Как среди треугольников и параллелограммов, так и среди трапеций выделяются отдельные виды, обладающие дополнительными свойствами.

Определение

Прямоугольной трапецией называется трапеция, в которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

На рисунке 39 изображена прямоугольная трапеция. У нее два прямых угла при меньшей боковой стороне. Эта сторона одновременно является и высотой трапеции.

Определение

Равнобедренной трапецией называется трапеция, в которой боковые стороны равны.

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

На рисунке 40 изображена равнобедренная трапеция Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения с боковыми сторонами Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения и Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Иногда равнобедренную трапецию также называют равнобокой или равнобочной.

У равнобедренной трапеции так же, как и у равнобедренного треугольника, углы при основании равны. Докажем это в следующей теореме.

Теорема (свойство равнобедренной трапеции)

В равнобедренной трапеции углы при основании равны.

Доказательство:

 Пусть Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — данная трапеция, Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Перед началом доказательства заметим, что этой теоремой утверждается равенство углов при каждом из двух оснований трапеции, т. е. необходимо доказать, что Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Проведем высоты Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения из вершин тупых углов и рассмотрим прямоугольные треугольники Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения (рис. 41). У них Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения как боковые стороны равнобедренной трапеции, Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения как расстояния между параллельными прямыми Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Следовательно, Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения по гипотенузе и катету. Отсюда следует, что Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Углы трапеции Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения также равны, поскольку они дополняют равные углы Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Теорема доказана. 

Имеет место также обратное утверждение (признак равнобедренной трапеции):

  • если в трапеции углы при основании равны, то такая трапеция является равнобедренной.

Докажите этот факт самостоятельно.

Пример №4

Меньшее основание равнобедренной трапеции равно боковой стороне, а диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите углы трапеции.

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Решение:

Пусть дана равнобедренная трапеция Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения в которой Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения (рис. 42). По условию задачи треугольник Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения равнобедренный с основанием Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения с другой стороны, Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения и Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения и секущей Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Пусть градусная мера угла 1 равна Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения тогда в данной трапеции Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Поскольку сумма углов, прилежащих к боковой стороне, составляет Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения имеем: Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решенияСледовательно, Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Ответ: Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Построение параллелограммов и трапеций

Задачи на построение параллелограммов и трапеций часто решают методом вспомогательного треугольника. Напомним, что для этого необходимо выделить в искомой фигуре треугольник, который можно построить по имеющимся данным. Построив его, получаем две или три вершины искомого четырехугольника, а остальные вершины находим по данным задачи.

Пример №5

Постройте параллелограмм по двум диагоналям и углу между ними.

Решение:

Пусть  Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения— данные диагонали параллелограмма, Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — угол между ними. Анализ

Пусть параллелограмм Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения построен (рис. 43).

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Треугольник Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения можно построить по двум сторонам и углу между ними Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решенияПараллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Таким образом, мы получим вершины Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения искомого параллелограмма.

Вершины Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения можно получить, «удвоив» отрезки Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Построение

1.    Разделим отрезки Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения пополам.

2.    Построим треугольник Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения по двум сторонам и углу между ними.

3.    На лучах Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения отложим отрезки Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения и Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

4.    Последовательно соединим точки Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Доказательство:

Четырехугольник Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — параллелограмм, поскольку по построению его диагонали Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения точкой пересечения делятся пополам. В этом параллелограмме Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения (по построению),

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Исследование

Задача имеет единственное решение при любых значениях Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

В некоторых случаях для построения вспомогательного треугольника на рисунке-эскизе необходимо провести дополнительные линии.

Пример №6

Постройте трапецию по четырем сторонам.

Решение:

Пусть Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — основания искомой трапеции, Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — ее боковые стороны.

Анализ

Пусть искомая трапеция Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения построена (рис. 44).

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Проведем через вершину Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения прямую Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения параллельную Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Тогда Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — параллелограмм по определению, следовательно, Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Кроме того, Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения следовательно, Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Вспомогательный треугольник Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения можно построить по трем сторонам. После этого для получения вершин Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения надо отложить на луче Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения и на луче с началом в точке Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения параллельном Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения отрезки длиной Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Построение

1. Построим отрезок Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

2. Построим треугольник Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения по трем сторонам Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

3. Построим луч, проходящий через точку Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения и параллельный Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения При этом построенный луч и луч Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения должны лежать по одну сторону от прямой Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

4. На луче Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения от точки Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения отложим отрезок Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения на луче с началом Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — отрезок Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

5. Соединим точки Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Доказательство:

По построению Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения следовательно, Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — параллелограмм по признаку. Отсюда Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Кроме того, Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решенияСледовательно, Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — искомая трапеция.

Исследование

Задача имеет единственное решение, если числа Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения удовлетворяют неравенству треугольника.

Теорема Фалеса

Для дальнейшего изучения свойств трапеции докажем важную теорему.

Теорема (Фалеса)

Параллельные прямые, которые пересекают стороны угла и отсекают на одной из них равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой стороне.

Доказательство:

 Пусть Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — точки пересечения параллельных прямых с одной из сторон данного угла, а Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — соответствующие точки пересечения этих прямых с другой стороной угла. Докажем, что если Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения то Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения (рис. 46).

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Проведем через точку Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения прямую Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения параллельную Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения (рис. 47).

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Четырехугольники Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — параллелограммы по определению. Тогда Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения а поскольку Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Рассмотрим треугольники Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения У них Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения по доказанному, Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения как вертикальные, a Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения и секущей Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решенияСледовательно, Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения по второму признаку, откуда Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Теорема доказана. 

Заметим, что в условии данной теоремы вместо сторон угла можно рассматривать две произвольные прямые, поэтому теорема Фалеса может формулироваться и следующим образом: параллельные прямые, которые пересекают две данные прямые и отсекают на одной из них равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой.

Пример №7

Разделите данный отрезок на Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения равных частей.

Решение:

Решим задачу для Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения т.е. разделим данный отрезок Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения на три равные части (рис. 48).

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Для этого проведем из точки Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения произвольный луч, не дополнительный к лучу Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения и отложим на нем равные отрезки Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Проведем прямую Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения и параллельные ей прямые через точки Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения По теореме Фалеса эти прямые делят отрезок Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения на три равные части. Аналогично можно разделить произвольный отрезок на любое количество равных частей.

Средняя линия треугольника

Теорема Фалеса помогает исследовать еще одну важную линию в треугольнике.

Определение

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

На рисунке 49, а отрезок Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — средняя линия треугольника Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения В любом треугольнике можно провести три средние линии (рис. 49, б).

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Теорема (свойство средней линии треугольника)

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Доказательство:

 Пусть Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — средняя линия треугольника Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения (рис. 50). Докажем сначала, что Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Проведем через точку Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения прямую, параллельную Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения По теореме Фалеса она пересечет отрезок Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения в его середине, т.е. будет содержать отрезок Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Следовательно, Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Проведем теперь среднюю линию Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения По только что доказанному она будет параллельна стороне Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Четырехугольник Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения с попарно параллельными сторонами по определению является параллелограммом, откуда Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения А поскольку точка Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — середина Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения то Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Теорема доказана. 

Опорная задача (теорема Вариньона) Середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Докажите.

Решение:

Пусть точки Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — середины сторон четырехугольника Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения (рис. 51). Проведем диагональ Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Отрезки Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — средние линии треугольников Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения соответственно. По свойству средней линии треугольника они параллельны стороне Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения и равны ее половине, т.е. параллельны и равны между собой. Тогда по признаку параллелограмма четырехугольник Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — параллелограмм.

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Средняя линия трапеции

Определение

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

На рисунке 52 отрезок Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — средняя линия трапеции Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Теорема (свойство средней линии трапеции) Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство:

 Пусть Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — средняя линия трапеции Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения с основаниями Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения (рис. 53).

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Проведем прямую Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения и отметим точку Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — точку пересечения прямых Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Рассмотрим треугольники Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения У них Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решенияпоскольку Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — середина Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения как вертикальные, a Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения и секущей Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Следовательно, Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения по второму признаку, откуда Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Тогда по определению Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — средняя линия треугольника Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения По свойству средней линии треугольника Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения поэтому Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения и Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решенияКроме того, из доказанного равенства треугольников следует, что Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решенияоткуда Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения По свойству средней линии треугольника Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Теорема доказана.

Пример №8

Через точки, делящие боковую сторону трапеции на три равные части, проведены прямые, параллельные основаниям трапеции. Найдите длины отрезков этих прямых, заключенных внутри трапеции, если ее основания равны 2 м и 5 м.

Решение:

Пусть в трапеции Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения (рис. 54).

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

По теореме Фалеса параллельные прямые, которые проходят через точки Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения отсекают на боковой стороне Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения равные отрезки, т.е. Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Тогда по определению Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — средняя линия трапеции Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — средняя линия трапеции Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Пусть Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решенияПараллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения По свойству средней линии трапеции имеем систему:

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения
Ответ: 3 м и 4 м.

Вписанные углы

Градусная мера дуги

В седьмом классе изучение свойств треугольников завершалось рассмотрением описанной и вписанной окружностей. Но перед тем как рассмотреть описанную и вписанную окружности для четырехугольника, нам необходимо остановиться на дополнительных свойствах углов.

До сих пор мы изучали только те углы, градусная мера которых не превышала Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Расширим понятие угла и введем в рассмотрение вместе с самим углом части, на которые он делит плоскость.

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

На рисунке 58 угол Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения делит плоскость на две части, каждая из которых называется плоским углом. Их градусные меры равны Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Используем понятие плоского угла для определения центрального угла в окружности.

Определение

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в центре окружности.

На рисунке 59, а, б стороны угла с вершиной в центре окружности Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения пересекают данную окружность в точках Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения При этом образуются две дуги, одна из которых меньше полуокружности (на ней обозначена промежуточная точка Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения рис. 59, а), а другая — больше полуокружности (на ней обозначена промежуточная точка Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения рис. 59, б).

Для того чтобы уточнить, какой из двух плоских углов со сторонами Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения мы рассматриваем как центральный, мы будем указывать дугу окружности, которая соответствует данному центральному углу (т.е. содержится внутри него).

На рисунке 59, а центральному углу Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения обозначенному дужкой, соответствует дуга Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения а на рисунке 59, б — дуга Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения В случае, когда лучи Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения дополнительные, соответствующая дуга Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения является полуокружностью (рис. 59, в).

Определение

Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла.

Градусную меру дуги, как и саму дугу, обозначают так: Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решенияНапример, на рисунке 59, в Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения т. е. градусная мера полуокружности составляет Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Очевидно, что градусная мера дуги всей окружности составляет Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Концы хорды Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения делят окружность на две дуги — Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения (рис. 59, г). Говорят, что эти дуги стягиваются хордой Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Вписанный угол

Определение

Вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

На рисунке 60 изображен вписанный угол Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Его вершина Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения лежит на окружности, а стороны пересекают окружность в точках Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения и Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Дуга Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения (на рисунке она выделена) лежит внутри этого угла. В таком случае говорят, что вписанный угол Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения опирается на дугу Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения 

Теорема (о вписанном угле)

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Доказательство:

 Пусть в окружности с центром Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения вписанный угол Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения опирается на дугу Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Докажем, что Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Рассмотрим три случая расположения центра окружности относительно данного вписанного угла (рис. 61).

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решенияПараллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решенияПараллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

1) Пусть центр окружности лежит на одной из сторон данного угла  (рис. 61, а). В этом случае центральный угол Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения является внешним углом при вершине Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения равнобедренного треугольника Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения По теореме о внешнем угле треугольника Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения А поскольку углы 1 и 2 равны как углы при основании равнобедренного треугольника, то Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

т.е. Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

2) Пусть центр окружности лежит внутри угла Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения (рис. 61, б). Луч Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения делит угол Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения на два угла. По только что доказанному Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения следовательно, Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

3) Аналогично в случае, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 60, б),

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Теорема доказана. 

Только что доказанную теорему можно сформулировать иначе.

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Пример №9

Найдите угол Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения если Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения (рис. 62).

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Решение:

Для того чтобы найти угол Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения необходимо найти градусную меру дуги Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения на которую он опирается. Но непосредственно по данным задачи мы можем найти только градусную меру дуги Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения на которую опирается угол Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения из теоремы о вписанном угле Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Заметим, что дуги Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решениявместе составляют полуокружность, т.е. Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения следовательно, Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Тогда по теореме о вписанном угле Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Ответ: Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Следствия теоремы о вписанном угле

По количеству и значимости следствий теорема о вписанном угле является одной из «богатейших» геометрических теорем. Сформулируем наиболее важные из этих следствий.

Следствие 1

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Действительно, по теореме о вписанном угле градусная мера каждого из вписанных углов на рисунке 63 равна половине дуги Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Следствие 2

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность,— прямой, и наоборот: любой прямой вписанный угол опирается на полуокружность.

Действительно, поскольку градусная мера полуокружности равна Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения то угол Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения который опирается на полуокружность, равен Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения(рис. 64). Обоснование обратного утверждения проведите самостоятельно.

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Следствие 3

Центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Первое из приведенных утверждений вытекает из следствия 2. Если в треугольнике Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения угол Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения прямой (рис. 65, а), то дуга Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения на которую опирается этот угол, является полуокружностью.

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решенияПараллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Тогда гипотенуза Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — диаметр описанной окружности, т.е. середина гипотенузы — центр окружности. Утверждение о длине медианы следует из равенства радиусов:

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Отметим еще один интересный факт: медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит данный треугольник на два равнобедренных треугольника с общей боковой стороной. Из этого, в частности, следует, что углы, на которые медиана делит прямой угол, равны острым углам треугольника (рис. 65, б).

В качестве примера применения следствий теоремы о вписанном угле приведем другое решение задачи, которую мы рассмотрели в п. 7.2.

Пример №10

Найдите угол Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения если Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения (см. рис. 62).

Решение:

Проведем хорду Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения (рис. 66).

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Поскольку вписанный угол Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения опирается на полуокружность, то по следствию 2 Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Значит, треугольник Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения прямоугольный, Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения тогда Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения По следствию 1 углы Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения равны, поскольку оба они опираются на дугу Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Следовательно, Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Ответ: Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Вписанные четырехугольники

Определение

Четырехугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности.

Четырехугольник Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения на рисунке 72 является вписанным в окружность. Иначе говорят, что окружность описана около четырехугольника.

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Как известно, около любого треугольника можно описать окружность. Для четырехугольника это можно сделать не всегда. Докажем свойство и признак вписанного четырехугольника.

Теорема (овписанном четырехугольнике)

  1. Сумма противолежащих углов вписанного четырехугольника равна Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения (свойство вписанного четырехугольника).
  2. Если сумма противолежащих углов четырехугольника равна Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения то около него можно описать окружность (признак вписанного четырехугольника).

Доказательство:

 1) Свойство. Пусть четырехугольник Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения вписан в окружность (рис. 72). По теореме о вписанном угле Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Следовательно, Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решенияПараллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Аналогично доказываем, что Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

2) Признак. Пусть в четырехугольнике Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Опишем окружность около треугольника Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения и докажем от противного, что вершина Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения не может лежать ни внутри этой окружности, ни вне ее. Пусть точка Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения лежит внутри окружности, а точка Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — точка пересечения луча Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения с дугой Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения (рис. 73).

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Тогда четырехугольник Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — вписанный. По условию Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения а по только что доказанному свойству вписанного четырехугольника Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения т.е. Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Но угол Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения четырехугольника Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — внешний угол треугольника Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения и по теореме о внешнем угле треугольника он должен быть больше угла Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Следовательно, мы пришли к противоречию, т.е. точка Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения не может лежать внутри окружности. Аналогично можно доказать, что точка Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения не может лежать вне окружности. Тогда точка Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения лежит на окружности, т.е. около четырехугольника Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения можно описать окружность.

Теорема доказана.

 Следствие 1

Около любого прямоугольника можно описать окружность.

Если параллелограмм вписан в окружность, то он является прямоугольником

Прямоугольник, вписанный в окружность, изображен на рисунке 74.

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Центр описанной окружности является точкой пересечения диагоналей прямоугольника (см. задачу 255).

Следствие 2

Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Если трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная.

Равнобедренная трапеция, вписанная в окружность, изображена на рисунке 75.

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Описанные четырехугольники

Определение

Четырехугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности.

Четырехугольник Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения на рисунке 76 является описанным около окружности. Иначе говорят, что окружность вписана в четырехугольник.

Оказывается, что не в любой четырехугольник можно вписать окружность. Докажем соответствующие свойство и признак.

Теорема (об описанном четырехугольнике)

  1. В описанном четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны (свойство описанного четырехугольника).
  2. Если в четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность (признак описанного четырехугольника).

Доказательство:

1) Свойство. Пусть стороны четырехугольника Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения касаются вписанной окружности в точках Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения (рис. 76).

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

По свойству отрезков касательных Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решенияПараллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения С учетом обозначений на рисунке Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

2) Признак. Пусть в четырехугольнике Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения с наименьшей стороной Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решенияПараллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решенияПоскольку по теореме о биссектрисе угла точка Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения (точка пересечения биссектрис углов Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения равноудалена от сторон Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения то можно построить окружность с центром Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения которая касается этих трех сторон (рис. 77, а). Докажем от противного, что эта окружность касается также стороны Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Предположим, что это не так. Тогда прямая Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения либо не имеет общих точек с окружностью, либо является секущей окружности. Рассмотрим первый случай (рис. 77, б). Проведем через точку Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения касательную к окружности, которая пересекает сторону Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения в точке Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Тогда по свойству описанного четырехугольника Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Но по условию Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решенияВычитая из второго равенства первое, имеем: Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения т.е. Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения что противоречит неравенству треугольника для треугольника Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Таким образом, наше предположение неверно. Аналогично можно доказать, что прямая Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения не может быть секущей окружности. Следовательно, окружность касается стороны Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решеният. е. четырехугольник Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения описанный. Теорема доказана.

Замечание. Напомним, что в данной теореме рассматриваются только выпуклые четырехугольники.

Следствие

В любой ромб можно вписать окружность. Если в параллелограмм вписана окружность, то он является ромбом

Ромб, описанный около окружности, изображен на рисунке 78. Центр вписанной окружности является точкой пересечения диагоналей ромба (см. задачу 265, а).

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Пример №11

В равнобедренную трапецию с боковой стороной 6 см вписана окружность. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение:

Пусть Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — данная равнобедренная трапеция с основаниями Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения По свойству описанного четырехугольника Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решенияСредняя линия трапеции равна Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения т.е. равна 6 см.

Ответ: 6 см

Геометрические софизмы

Многим из вас, наверное, известна древнегреческая история об Ахиллесе, который никак не может догнать черепаху. История математики знает немало примеров того, как ложные утверждения и ошибочные результаты выдавались за истинные, а их опровержение давало толчок настоящим математическим открытиям. Но даже ошибки и неудачи могут принести пользу математикам. Эти ошибки остались в учебниках и пособиях в виде софизмов — заведомо ложных утверждений, доказательства которых на первый взгляд кажутся правильными, но на самом деле таковыми не являются. Поиск и анализ ошибок, содержащихся в этих доказательствах, часто позволяют определить причины ошибок в решении других задач. Поэтому в процессе изучения геометрии софизмы иногда даже более поучительны и полезны, чем «безошибочные» задачи и доказательства.

Рассмотрим пример геометрического софизма, связанного с четырехугольниками, вписанными в окружность.

Окружность имеет два центра.

Доказательство:

Обозначим на сторонах произвольного угла Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения точки Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения и проведем через эти точки перпендикуляры к сторонам Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения соответственно (рис. 79).

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Эти перпендикуляры должны пересекаться (ведь если бы они были параллельны, то параллельными были бы и стороны данного угла — обоснуйте это самостоятельно). Обозначим точку Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — точку пересечения перпендикуляров.

Через точки Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения не лежащие на одной прямой, проведем окружность (это можно сделать, поскольку окружность, описанная около треугольника Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решениясуществует и является единственной). Обозначим точки Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — точки пересечения этой окружности со сторонами угла Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Прямые углы Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения являются вписанными в окружность. Значит, по следствию теоремы о вписанных углах, отрезки Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения являются диаметрами окружности, которые имеют общий конец Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения но не совпадают. Тогда их середины Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения являются двумя разными центрами одной окружности, т.е. окружность имеет два центра.

Ошибка этого «доказательства» заключается в неправильности построений на рисунке 79. В четырехугольнике Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решенияПараллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения т.е. он вписан в окружность. Это означает, что в ходе построений окружность, проведенная через точки Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения обязательно пройдет через точку Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения В таком случае отрезки Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения совпадут с отрезком Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения середина которого и является единственным центром построенной окружности.

Среди задач к этому и следующим параграфам вы найдете и другие примеры геометрических софизмов и сможете самостоятельно потренироваться в их опровержении. Надеемся, что опыт, который вы при этом приобретете, поможет в дальнейшем избежать подобных ошибок при решении задач.

Четырехугольник и окружность в задачах. Метод вспомогательной окружности

При решении задач об окружностях и четырехугольниках иногда следует использовать специальные подходы. Один из них заключается в рассмотрении вписанного треугольника, вершины которого являются вершинами данного вписанного четырехугольника.

Пример №12

Найдите периметр равнобедренной трапеции, диагональ которой перпендикулярна боковой стороне и образует с основанием угол Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения если радиус окружности, описанной около трапеции, равен 8 см.

Решение:

Пусть дана вписанная трапеция Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решенияПараллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения (рис. 80).

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Заметим, что окружность, описанная около трапеции, описана также и около прямоугольного треугольника Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения значит, ее центром является середина гипотенузы Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Тогда Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения В треугольнике Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения как катет, противолежащий углу Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Поскольку в прямоугольном треугольнике Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения то углы при большем основании трапеции равны Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения и секущей Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Следовательно, в треугольнике Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения два угла равны, т.е. он является равнобедренным с основанием Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения откуда Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Тогда Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Ответ: 40 см.

Особенно интересным и нестандартным является применение окружности (как описанной, так и вписанной) при решении задач, в условиях которых окружность вообще не упоминается.

Пример №13

Из точки Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения лежащей на катете Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения прямоугольного треугольника Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения проведен перпендикуляр Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения к гипотенузе Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения (рис. 81). Докажите, что Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Решение:

В четырехугольнике Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения значит, около него можно описать окружность. В этой окружности вписанные углы Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения будут опираться на одну и ту же дугу, и по следствию теоремы о вписанном угле Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Метод решения задач с помощью дополнительного построения описанной или вписанной окружности называют методом вспомогательной окружности.

Замечательные точки треугольника

Точка пересечения медиан

В седьмом классе в ходе изучения вписанной и описанной окружностей треугольника рассматривались две его замечательные точки — точка пересечения биссектрис (иначе ее называют инцентром треугольника) и точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.

Рассмотрим еще две замечательные точки треугольника.

Теорема (о точке пересечения медиан треугольника)

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, начиная от вершины треугольника.

Доказательство:

 Пусть в треугольнике Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения проведены медианы Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения (рис. 85).

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Докажем, что они пересекаются в некоторой точке Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения причем Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Пусть Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — точка пересечения медиан Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения и Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения точки Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — середины отрезков Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения и Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения соответственно. Отрезок Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — средняя линия треугольника Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения и по свойству средней линии треугольника Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Кроме того, Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — средняя линия треугольника Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решенияи по тому же свойству Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Значит, в четырехугольнике Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения две стороны параллельны и равны. Таким образом, Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — параллелограмм, и его диагонали Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения т.е. точка Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения делит медианы Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения в отношении 2:1.

Аналогично доказываем, что и третья медиана Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения точкой пересечения с каждой из медиан Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения делится в отношении 2 :1. А поскольку такая точка деления для каждой из медиан единственная, то, следовательно, все три медианы пересекаются в одной точке. 

Точку пересечения медиан треугольника иначе называют центроидом или центром масс треугольника. В уместности такого названия вы можете убедиться, проведя эксперимент: вырежьте из картона треугольник произвольной формы, проведите в нем медианы и попробуйте удержать его в равновесии, положив на иглу или острый карандаш в точке пересечения медиан (рис. 86).

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Пример №14

Если в треугольнике две медианы равны, то он равнобедренный. Докажите.

Решение:

Пусть в треугольнике Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения медианы Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения равны и пересекаются в точке Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения (рис. 87).

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Рассмотрим треугольники Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Поскольку точка Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения делит каждую из равных медиан Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения и Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения в отношении Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Кроме того, Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения как вертикальные. Значит, Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения по первому признаку. Отсюда следует, что Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Но по определению медианы эти отрезки — половины сторон Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решенияСледовательно, Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения т.е. треугольник Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения равнобедренный.

Точка пересечения высот

Теорема (о точке пересечения высот треугольника)

Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Доказательство:

 Пусть Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — высоты треугольника Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения (рис. 88).

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Проведя через вершины треугольника прямые, параллельные противолежащим сторонам, получим треугольник Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения стороны которого перпендикулярны высотам треугольника Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения По построению четырехугольники Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — параллелограммы, откуда Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Следовательно, точка Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — середина отрезка Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения Аналогично доказываем, что Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — середина Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения — середина Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Таким образом, высоты Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения лежат на серединных перпендикулярах к сторонам треугольника Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения которые пересекаются в одной точке по следствию теоремы об окружности, описанной около треугольника. 

Точку пересечения высот (или их продолжений) иначе называют ортоцентром треугольника.

Таким образом, замечательными точками треугольника являются:

  • точка пересечения биссектрис — центр окружности, вписанной в треугольник;
  • точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам — центр окружности, описанной около треугольника;
  • точка пересечения медиан — делит каждую из медиан в отношении 2:1, начиная от вершины треугольника;
  • точка пересечения высот (или их продолжений).

ИТОГОВЫЙ ОБЗОР ГЛАВЫ I

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Теорема о сумме углов четырехугольника.

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Сумма углов четырехугольника равна Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Справочный материал по параллелограмму

Параллелограммом называется четырехугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Признаки параллелограмма

Если две противолежащие стороны четырехугольника параллельны и равны, то этот четырехугольник — параллелограмм

Если противолежащие стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник- параллелограм.

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решенияПараллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения 

Противолежащие углы параллелограмма равны.

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам
Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Если противолежащие углы четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Если диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм

Виды параллелограммов

 Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Прямоугольником называется параллелограм у которого все углы прямые

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны

Свойство прямоугольника

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Диагонали прямоугольника равны 

Признак прямоугольника

Если все углы четырехугольника равны, то этот четырехугольник является прямоугольником

Свойства ромба

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам
 

Признак ромба

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения
Если все стороны четырехугольника равны, то этот четырехугольник является ромбом

Свойства квадрата

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения 

Все стороны квадрата равны, а противолежащие стороны параллельны

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Все углы квадрата прямые

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Диагонали квадрата равны, перпендикулярны, делят углы квадрата пополам и точкой пересечения делятся пополам
 

Трапеция

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие непараллельны

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Прямоугольной трапецией называется трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Равнобедренной трапецией называется трапеция, у которой боковые стороны равны.

Свойство равнобедренной 

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. 

Признак равнобедренной

Если в трапеции углы при основании равны, то такая трапеция равнобедренная

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Теорема Фалеса

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Параллельные прямые, которые пересекают стороны угла и отсекают на одной из них равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой стороне

Средние линии треугольника и трапеции

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения
 

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции

Свойство средней линии треугольника

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны
Свойство средней линии трапеции

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме

Углы в окружности

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в центре окружности

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность

Теорема о вписанном угле Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается

Следствия теоремы о вписанном угле

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой, и наоборот: любой прямой вписанный угол опирается на полуокружность

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы

Вписанные четырехугольники

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Четырехугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности

Признак вписанного четырехугольника

Если сумма противолежащих углов четырехугольника равна Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения то около него можно описать окружность

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Около любого прямоугольника можно описать окружность
Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Около равнобедренной трапеции можно описать окружность
Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Свойство вписанного четырехугольника

  • Сумма противолежащих углов вписанного четырехугольника равна Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения
  • Если параллелограмм вписан в окружность, то он является прямоугольником
  • Если трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная

Описанные четырехугольники

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Четырехугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности

Признак описанного четырехугольника

Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

В любой ромб можно вписать окружность
Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Свойство описанного четырехугольника

  • В описанном четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны
  • Если в параллелограмм вписана окружность, то он является ромбом

Замечательные точки треугольника

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения
Теорема о точке пересечения медиан треугольника Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, начиная от вершины треугольника

Параллелограмм - его свойства, признаки и определение с примерами решения

Теорема о точке пересечения высот треугольника Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке

Историческая справка

Большая часть теоретических положений, связанных с четырехугольником, была известна еще в Древней Греции. Например, параллелограмм упоминается в работах Евклида под названием «параллельно-линейная площадь». Основные свойства четырехугольников были установлены на практике и только со временем доказаны теоретически.

Одним из творцов идеи геометрического доказательства по праву признан древнегреческий ученый Фалес Милетский (ок. 625-547 гг. до н. э.). Его считали первым среди прославленных «семи мудрецов» Эллады. Механик и астроном, философ и общественный деятель, Фалес значительно обогатил науку своего времени. Именно он познакомил греков с достижениями египтян в геометрии и астрономии. По свидетельству историка Геродота, Фалес предсказал затмение Солнца, которое произошло 28 мая 585 г. до н. э. Он дал первые представления об электричестве и магнетизме. Достижения Фалеса в геометрии не ограничиваются теоремой, названной его именем. Считается, что Фалес открыл теорему о вертикальных углах, доказал равенство углов при основании равнобедренного треугольника, первым описал окружность около прямоугольного треугольника и обосновал, что угол, который опирается на полуокружность, прямой. Фалесу приписывают и доказательство второго признака равенства треугольников, на основании которого он создал дальномер для определения расстояния до кораблей на море.
В молодые годы Фалес побывал в Египте. Согласно легенде, он удивил египетских жрецов, измерив высоту пирамиды Хеопса с помощью подобия треугольников (о подобии треугольников — в следующей главе).

Изучая замечательные точки треугольника, нельзя не вспомнить имена еще нескольких ученых.

Теорему о пересечении высот треугольника доказал в XV в. немецкий математик Региомонтан (1436-1476) — в его честь эту теорему иногда называют задачей Региомонтана.

Выдающийся немецкий ученый Леонард Эйлер (1707-1783), который установил связь между замечательными точками треугольника, является уникальной исторической фигурой. Геометрия и механика, оптика и баллистика, астрономия и теория музыки, математическая физика и судостроение — вот далеко не полный перечень тех областей науки, которые он обогатил своими открытиями. Перу Эйлера принадлежит более 800 научных работ, причем, по статистическим подсчетам, он делал в среднем одно изобретение в неделю! Человек чрезвычайной широты интересов, Эйлер был академиком Берлинской, Петербургской и многих других академий наук, он существенным образом повлиял на развитие мировой науки. Недаром французский математик Пьер Лаплас, рассуждая об ученых своего поколения, утверждал, что Эйлер — «учитель всех нас».

Среди украинских математиков весомый вклад в исследование свойств четырехугольников внес Михаил Васильевич Остроградский (1801-1862). Этот выдающийся ученый, профессор Харьковского университета, получил мировое признание благодаря работам по математической физике, математическому анализу, аналитической механике. Талантливый педагог и методист, Остроградский создал «Учебник по элементарной геометрии», который, в частности, содержал ряд интересных и сложных задач на построение вписанных и описанных четырех. М. В. Остроградский угольников и вычисление их площадей.

  • Теорема синусов и  теорема косинусов
  • Параллельность прямых и плоскостей
  • Перпендикулярность прямой и плоскости
  • Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости
  • Центральные и вписанные углы
  • Углы и расстояния в пространстве
  • Подобие треугольников
  • Решение прямоугольных треугольников

Согласно определению,геометрическая фигура параллелограмм является четырехугольником с попарно параллельными противоположными сторонами и равными противолежащими углами. Доказать, что фигура параллелограмм позволяет как определение, так и ее признаки. Применяя на практике эти свойства, можно решать геометрические задачи разной сложности.

Как доказать, что четырехугольник является параллелограммом?

Определение параллелограмма

Четырехугольник является параллелограммом с параллельными противоположными сторонами. Эта фигура имеет по 2 тупых и острых угла, произвольную величину которых определяют при решении задач. Для этого используют не только признаки параллелограмма или треугольника, но и таблицу синусов с косинусами.

Как доказать, что четырехугольник является параллелограммом?

Квадрат, прямоугольник и ромб — это параллелограммы, обладающие общими свойствами. Фигура, у которой диагонали совпадают с биссектрисами, является ромбом. Согласно определению, прямоугольник — это четырехугольник, имеющий все прямые углы. Если стороны этой фигуры равны между собой, то прямоугольник является квадратом.

Параллелограмм — геометрическая фигура с равными противоположными сторонами. Если каждую из них возвести в квадрат и сложить их между собой, то полученная величина будет равна сумме квадратов диагоналей, проведенных через противоположные вершины углов фигуры. Диагонали этого четырехугольника пересекаются в точке, определить которую позволяют прямоугольные координаты.

Свойства фигуры

Зная различные свойства четырехугольников, можно решать простые и сложные задачи по геометрии, начиная с определения периметра, заканчивая нахождением координаты вершины параллелограмма. Для решения задач используют 7 основных свойств параллелограмма, учитывая что его стороны попарно образуют:

  • смежные углы, сумма которых составляет 180 градусов;
  • равные отрезки;
  • одинаковые по величине противоположные углы;
  • четырехугольник, сумма углов которого равна 360 градусов;
  • фигуру, диагонали которой пересекаются в точке, разделяющей их на 2 равных отрезка;
  • равнобедренный треугольник, одна из сторон которого является биссектрисой фигуры;
  • симметричные фигуры, дополняемые линией, проходящей через точку пересечения диагоналей.

Как доказать, что четырехугольник является параллелограммом?

Доказать последнее свойство позволяет II признак равенства треугольников. Известен отрезок, принадлежащий линии, проведенной через точку, в которой пересекаются диагонали. В четырехугольнике КМРТ он обозначен НП. Отсюда следует равенство треугольников КОП и НОР, поэтому НО=ОП.

Сумма смежных углов параллелограмма составляет 180 градусов, поскольку они являются односторонними при параллельных прямых. Существует свойство равенства острого угла и образованного высотами тупого угла четырехугольника АВСД. Параллелограмм имеет смежные углы А и Д, а высоты ВМ и ВН проведены из вершины В, поэтому угол МВН в сумме с Д равен 180 градусам.

Доказательство равенства противолежащих сторон и углов фигуры заключается в следующем. Например, диагонали ABCD делят фигуру на 2 равных треугольника, имеющих общую сторону в виде диагонали BD. При этом углы ADВ и ABC при противолежащих вершинах A и C являются накрест лежащими.

Параллелограмм состоит из равных треугольников ABD, BCD и ABC, ACD, образуемых диагоналями AC и ВD, значит AB=CD и AD=BC. Отсюда углы при вершинах A и C, В и D имеют одинаковую величину.

Свойства можно представить в виде формул для решения уравнений и примеров, а также доказать теоретически. Их следует запомнить, чтобы правильно применять на практике. Для решения более сложных задач по геометрии следует доказать основные свойства фигуры.

Основные признаки

Существует 5 признаков параллелограмма, доказательство которых основано на свойствах прямых и образованных ими углов либо фигур. Выпуклый четырехугольник, вершины которого обозначены МНКП, имеет диагонали МП и НК. Признаки того, что фигура МНКП представляет собой параллелограмм, следующие:

  • попарное равенство противоположных сторон: МН=КП и НК=МП;
  • попарное равенство противоположных углов: МНК=КПМ и НКП=НМП;
  • равенство и параллельность противоположных сторон: МН=КП и МН||КП;
  • пересечение диагоналей в точке, которая делит их пополам;
  • МН2 + КП2 = МН2 + НК2 + КП2 + МП2

Как доказать, что четырехугольник является параллелограммом?

Если четырехугольник имеет 2 равные и параллельные стороны, то он представляет собой параллелограмм. Четырехугольник MNPK имеет параллельные и равные MN и KP, отсюда следует доказательство I признака:

  • Если провести диагональ MP, то она образует треугольники MNP и MPK.
  • Фигуры имеют общую сторону MP, а MN=KP по условию.
  • Поскольку прямая MP пересекает параллельные прямые MN и PK, то образуемые этими прямыми накрест лежащие углы равны.
  • Параллельность других сторон MK и NP при диагонали MP основана на равенстве накрест лежащих углов, поэтому четырехугольник MNPK — параллелограмм.
  • Если четырехугольник имеет противоположные стороны, которые равны попарно, то он является параллелограммом. Перед тем как доказать, что фигура является параллелограммом, следует провести диагонали. Пошаговое доказательство II признака:

    Как доказать, что четырехугольник является параллелограммом?

  • Диагональ, проведенная через вершины фигуры АМКД А и К, образует 2 треугольника АМК и АКД.
  • Поскольку согласно данным АМ=КД и АД=МК, а сторона АК — общая, значит, треугольники АМК и АКД имеют 3 равные стороны.
  • Углы АКМ и АКД при параллельных прямых АМ и KД, пересекаемых диагональю АК, соответствуют по величине как накрест лежащие.
  • По II признаку параллельность прямых АМ и КД, которые равны по условию, позволяет утверждать, что фигура АМКД является параллелограммом.
  • Доказать деление точкой пересечения каждой из диагоналей фигуры АМКД на равные отрезки позволяет II признак равенства треугольников. При этом AОД и КОМ равны. Следовательно, AО=КО и АО=ДО.

    Согласно III признаку, четырехугольник, диагонали которого пересекаются, а точка пересечения делит их пополам, представляет собой параллелограмм. В четырехугольнике MNPQ она обозначена буквой К. Поскольку в ней пересекаются диагонали MP и NQ, то образуемые ими треугольники MNК и КPQ равны по I признаку. Это следует из равенства вертикальных углов MКN и PКQ, а также MК и NК, КP и КQ, которые равны по условию.

    В треугольниках MNК и КPQ стороны MN и PQ равны между собой. Углы NMК и КPQ равны как накрест лежащие при MN и PQ и секущей MP. Отсюда следует, что прямые MN||PQ. Итак, четырехугольник MNPQ — это параллелограмм по I признаку, поскольку MN и PQ равны и параллельны.

    Пошаговое доказательство

    Перед тем как доказать, что четырехугольник параллелограмм, нужно провести высоты треугольников МНК и МПК, пересекающие МК в точках О и С. По данным задачи, МНК, МПК и НПК имеют одинаковые площади. Доказательство параллельности МК и НП состоит из следующих шагов:

    Как доказать, что четырехугольник является параллелограммом?

  • Равенство высот НО и ПС следует из соответствия площадей треугольников МНК и МПК, у которых имеется общая сторона МК.
  • Прямые, содержащие высоты НО и ПС, пересекают прямую МК под углом 90 градусов.
  • Точки пересечения лежат на одной и той же стороне относительно МК.
  • Отсюда следует, что МК и НП — параллельны.
  • Чтобы доказать, что МН и ПК параллельны, нужно опустить из вершин треугольников МНК и НКП высоты Н и П, которые пересекут прямую ПК в точках Р и Т. По построению НР=ПТ, а по указанному условию площади треугольников МНК и НПК совпадают. Сторона МН параллельна ПК, следовательно, МНПК — параллелограмм. Итак, порядок доказательства параллельности МН и ПК аналогичен с доказательством, что МК и НП параллельны.

    Доказательство признака образования равнобедренного треугольника и трапеции при пересечении противолежащей стороны параллелограмма биссектрисой АМ одного из углов состоит из следующих утверждений:

  • Этот признак следует из свойства биссектрисы и равенства накрест лежащих углов при параллельных прямых AD и BC и луче АМ.
  • Поэтому AМCD — трапеция с параллельными сторонами AD и МC.
  • Отсекаемый биссектрисой АМ треугольник АВМ является равнобедренным.
  • Стороны АВ и ВМ треугольника имеют одинаковую длину.
  • Зная, как доказать, что фигура параллелограмм, если известно, что 2 из его сторон равны и параллельны, можно использовать I признак равенства для доказательства другого. Согласно II признаку, стороны параллелограмма попарно равны между собой.

    Предыдущая

    ГеометрияУравнение биссектрисы в треугольнике — формула, свойства и решение задач

    Следующая

    ГеометрияКак можно построить биссектрису угла с помощью циркуля и линейки?

    Как доказать, что четырехугольник — параллелограмм: признаки фигуры

    Определение параллелограмма

    Четырехугольник является параллелограммом с параллельными противоположными сторонами. Эта фигура имеет по 2 тупых и острых угла, произвольную величину которых определяют при решении задач. Для этого используют не только признаки параллелограмма или треугольника, но и таблицу синусов с косинусами.

    Определение параллелограмма

    Квадрат, прямоугольник и ромб — это параллелограммы, обладающие общими свойствами. Фигура, у которой диагонали совпадают с биссектрисами, является ромбом. Согласно определению, прямоугольник — это четырехугольник, имеющий все прямые углы. Если стороны этой фигуры равны между собой, то прямоугольник является квадратом.

    Параллелограмм — геометрическая фигура с равными противоположными сторонами. Если каждую из них возвести в квадрат и сложить их между собой, то полученная величина будет равна сумме квадратов диагоналей, проведенных через противоположные вершины углов фигуры. Диагонали этого четырехугольника пересекаются в точке, определить которую позволяют прямоугольные координаты.

    Свойства фигуры

    Зная различные свойства четырехугольников, можно решать простые и сложные задачи по геометрии, начиная с определения периметра, заканчивая нахождением координаты вершины параллелограмма. Для решения задач используют 7 основных свойств параллелограмма, учитывая что его стороны попарно образуют:

    • смежные углы, сумма которых составляет 180 градусов;
    • равные отрезки;
    • одинаковые по величине противоположные углы;
    • четырехугольник, сумма углов которого равна 360 градусов;
    • фигуру, диагонали которой пересекаются в точке, разделяющей их на 2 равных отрезка;
    • равнобедренный треугольник, одна из сторон которого является биссектрисой фигуры;
    • симметричные фигуры, дополняемые линией, проходящей через точку пересечения диагоналей.

    Свойства фигуры

    Доказать последнее свойство позволяет II признак равенства треугольников. Известен отрезок, принадлежащий линии, проведенной через точку, в которой пересекаются диагонали. В четырехугольнике КМРТ он обозначен НП. Отсюда следует равенство треугольников КОП и НОР, поэтому НО=ОП.

    Сумма смежных углов параллелограмма составляет 180 градусов, поскольку они являются односторонними при параллельных прямых. Существует свойство равенства острого угла и образованного высотами тупого угла четырехугольника АВСД. Параллелограмм имеет смежные углы А и Д, а высоты ВМ и ВН проведены из вершины В, поэтому угол МВН в сумме с Д равен 180 градусам.

    Доказательство равенства противолежащих сторон и углов фигуры заключается в следующем. Например, диагонали ABCD делят фигуру на 2 равных треугольника, имеющих общую сторону в виде диагонали BD. При этом углы ADВ и ABC при противолежащих вершинах A и C являются накрест лежащими.

    Параллелограмм состоит из равных треугольников ABD, BCD и ABC, ACD, образуемых диагоналями AC и ВD, значит AB=CD и AD=BC. Отсюда углы при вершинах A и C, В и D имеют одинаковую величину.

    Свойства можно представить в виде формул для решения уравнений и примеров, а также доказать теоретически. Их следует запомнить, чтобы правильно применять на практике. Для решения более сложных задач по геометрии следует доказать основные свойства фигуры.

    Основные признаки

    Существует 5 признаков параллелограмма, доказательство которых основано на свойствах прямых и образованных ими углов либо фигур. Выпуклый четырехугольник, вершины которого обозначены МНКП, имеет диагонали МП и НК. Признаки того, что фигура МНКП представляет собой параллелограмм, следующие:

    • попарное равенство противоположных сторон: МН=КП и НК=МП;
    • попарное равенство противоположных углов: МНК=КПМ и НКП=НМП;
    • равенство и параллельность противоположных сторон: МН=КП и МН||КП;
    • пересечение диагоналей в точке, которая делит их пополам;
    • МН2 + КП2 = МН2 + НК2 + КП2 + МП2

    Основные признаки

    Если четырехугольник имеет 2 равные и параллельные стороны, то он представляет собой параллелограмм. Четырехугольник MNPK имеет параллельные и равные MN и KP, отсюда следует доказательство I признака:

    1. Если провести диагональ MP, то она образует треугольники MNP и MPK.
    2. Фигуры имеют общую сторону MP, а MN=KP по условию.
    3. Поскольку прямая MP пересекает параллельные прямые MN и PK, то образуемые этими прямыми накрест лежащие углы равны.
    4. Параллельность других сторон MK и NP при диагонали MP основана на равенстве накрест лежащих углов, поэтому четырехугольник MNPK — параллелограмм.

    Если четырехугольник имеет противоположные стороны, которые равны попарно, то он является параллелограммом. Перед тем как доказать, что фигура является параллелограммом, следует провести диагонали. Пошаговое доказательство II признака:

    Параллелограмм

    1. Диагональ, проведенная через вершины фигуры АМКД А и К, образует 2 треугольника АМК и АКД.
    2. Поскольку согласно данным АМ=КД и АД=МК, а сторона АК — общая, значит, треугольники АМК и АКД имеют 3 равные стороны.
    3. Углы АКМ и АКД при параллельных прямых АМ и KД, пересекаемых диагональю АК, соответствуют по величине как накрест лежащие.
    4. По II признаку параллельность прямых АМ и КД, которые равны по условию, позволяет утверждать, что фигура АМКД является параллелограммом.

    Доказать деление точкой пересечения каждой из диагоналей фигуры АМКД на равные отрезки позволяет II признак равенства треугольников. При этом AОД и КОМ равны. Следовательно, AО=КО и АО=ДО.

    Согласно III признаку, четырехугольник, диагонали которого пересекаются, а точка пересечения делит их пополам, представляет собой параллелограмм. В четырехугольнике MNPQ она обозначена буквой К. Поскольку в ней пересекаются диагонали MP и NQ, то образуемые ими треугольники MNК и КPQ равны по I признаку. Это следует из равенства вертикальных углов MКN и PКQ, а также MК и NК, КP и КQ, которые равны по условию.

    В треугольниках MNК и КPQ стороны MN и PQ равны между собой. Углы NMК и КPQ равны как накрест лежащие при MN и PQ и секущей MP. Отсюда следует, что прямые MN||PQ. Итак, четырехугольник MNPQ — это параллелограмм по I признаку, поскольку MN и PQ равны и параллельны.

    Пошаговое доказательство

    Перед тем как доказать, что четырехугольник параллелограмм, нужно провести высоты треугольников МНК и МПК, пересекающие МК в точках О и С. По данным задачи, МНК, МПК и НПК имеют одинаковые площади. Доказательство параллельности МК и НП состоит из следующих шагов:

    Дети на уроке

    1. Равенство высот НО и ПС следует из соответствия площадей треугольников МНК и МПК, у которых имеется общая сторона МК.
    2. Прямые, содержащие высоты НО и ПС, пересекают прямую МК под углом 90 градусов.
    3. Точки пересечения лежат на одной и той же стороне относительно МК.
    4. Отсюда следует, что МК и НП — параллельны.

    Чтобы доказать, что МН и ПК параллельны, нужно опустить из вершин треугольников МНК и НКП высоты Н и П, которые пересекут прямую ПК в точках Р и Т. По построению НР=ПТ, а по указанному условию площади треугольников МНК и НПК совпадают. Сторона МН параллельна ПК, следовательно, МНПК — параллелограмм. Итак, порядок доказательства параллельности МН и ПК аналогичен с доказательством, что МК и НП параллельны.

    Доказательство признака образования равнобедренного треугольника и трапеции при пересечении противолежащей стороны параллелограмма биссектрисой АМ одного из углов состоит из следующих утверждений:

    1. Этот признак следует из свойства биссектрисы и равенства накрест лежащих углов при параллельных прямых AD и BC и луче АМ.
    2. Поэтому AМCD — трапеция с параллельными сторонами AD и МC.
    3. Отсекаемый биссектрисой АМ треугольник АВМ является равнобедренным.
    4. Стороны АВ и ВМ треугольника имеют одинаковую длину.

    Зная, как доказать, что фигура параллелограмм, если известно, что 2 из его сторон равны и параллельны, можно использовать I признак равенства для доказательства другого. Согласно II признаку, стороны параллелограмма попарно равны между собой.

    Параллелограммом – 4-угольник, где противоположные стороны попарно параллельные, одинаковые по длине, а диагонали в точке пересечения делятся на равные отрезки. Изучим признаки параллелограмма по двум, четырём сторонам, внутренним углам, центру симметрии.

    Что такое параллелограмм, свойства фигуры

    Четырёхугольник с противоположными сторонами, которые никогда не пересекаются, обладает рядом свойств. Для диагоналей это:

    • В месте пресечения делятся на подобные отрезки.
    • Любая диагональ разделяет фигуру на пару одинаковых треугольников.
    • Сумма квадратов длин диагоналей равняется удвоенной сумме квадратов длин смежных с ней сторон.

    Особенность высоты геометрической фигуры – отрезка, опущенного из любой точки многоугольника на противоположную ей сторону: отсекает от фигуры равнобедренный треугольник.

    Свойства биссектрис – отрезков, делящих углы пополам:

    • биссектрисы пересекаются под углом 90°;
    • равноделящие, лежащие одна напротив другой относительно центра симметрии углов, параллельные и равные по длине.

    У 4-угольника противоположные углы равны, а сумма прилегающих к одному отрезку составляет 180°.

    Как доказать, что фигура параллелограмм

    Четырёхугольник обладает рядом присущих только ему свойств. Дана геометрическая фигура с четырьмя углами, доказать, что это параллелограмм. 

    Признаки

    Начнём из особенностей, присущих рассматриваемым многоугольникам. 

    • Первый признак параллелограмма: у выпуклого 4-угольника противоположные отрезки параллельны.

    Первый признак параллелограмма: у выпуклого 4-угольника противоположные отрезки параллельны.

    Дан 4-угольник, где AB=CD, BC=AD. Доказать, что AB∥CD, BC∥AD.

    Проведём диагональ BD. В итоге получим пару одинаковых треугольников, исходя из условий задачи и общего отрезка BD.

    Первый признак параллелограмма: у выпуклого 4-угольника противоположные отрезки параллельны.

    Отсюда вытекают равенства: ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3 – подобные треугольники имеют одинаковые по величине углы, образованные подобными сторонами. Значит AB∥CD и BC∥AD (из свойства: если накрест расположенные углы равны, значит прямые будут параллельными).

    • Второй признак – 4-угольник с равными по длине и параллельными противоположными сторонами относится к параллелограмму.

    В данном четырёхугольнике BC=AD, BC∥AD. Нужно доказать параллельность AB и CD для подтверждения, что это параллелограмм.

    Исходя из условий, понимаем, что BCD и ABD – подобные треугольники. Из условия задачи: BC = AD, BD – общая для обоих, значит, ∠2 = ∠3 – следствие того, что накрест лежащие углы подобные. Из равенства 3-угольников: ∠1 = ∠4 получается, что AB параллельна CD. 

    Признаки параллелограмма по диагоналям с доказательством

    Четырёхугольник обладает и прочими особенностями, рассмотрим одну на примере задачи: докажите признак параллелограмма по точке пересечения диагоналей.

    Четырёхугольник обладает и прочими особенностями, рассмотрим одну на примере задачи: докажите признак параллелограмма по точке пересечения диагоналей.

    Доказательство.

    Треугольник AOD равен BOC, потому что AD=BC – лежащие напротив стороны четырёхугольника. ∠1=∠2, ∠3=∠4 – они лежат накрест и параллельных прямых. Если треугольники подобные, значит: OC=OA, OB=OD.

    Прочие способы как доказать параллелограмм

    Проведённая через центр O прямая пересечёт контур четырёхугольника в двух точках (E, F), которые будут симметричными относительно O. Это значит, что:

    1. они расположены в разных направлениях от O;
    2. расстояние от них к O одинаково: OE = OF.

    Прочие способы как доказать параллелограмм

    Получается, треугольник OAF равен OCE, потому что у них стороны AO = OC. Углы, расположенные у общей вершины O, также равны, ведь они вертикальные. ∠1=∠2 – следствие равности накрест лежащих при параллельных прямых углов. Как результат: OF=OE.

    Если у четырёхугольника есть точка, которая обладает описанным свойством, её называют центром симметрии этой геометрической фигуры.  Для рассматриваемого многоугольника центром симметрии является точка O, разделяющая диагонали на подобные отрезки.

    При повороте геометрической фигуры вокруг центра симметрии на 180° она будет совмещена с предыдущим местоположением, ведь противоположные точки поменяются местами относительно оси симметрии. 

    Для проверки качества усвоения материала самостоятельно сформулируйте признаки параллелограмма без доказательств.

    Признаки параллелограмма — это признаки,
    с помощью которых можно доказать,
    что четырехугольник — параллелограмм.

    Чтобы доказать, что четырехугольник — параллелограмм, нужно знать признаки
    параллелограмма. Четырехугольник является параллелограммом, если один
    из признаков параллелограмма для этого четырехугольника истинен.
    Например, если у четырехугольника две стороны равны и
    параллельны, значит этот четырехугольник параллелограмм.

    Всего существует три признака параллелограмма: по двум одинаковым
    параллельным сторонам,
    по пересечению диагоналей и делению
    диагоналей пополам в точке пересечения, по попарно равным
    противоположным сторонам
    . В этой статье мы рассмотрим
    все три признака параллелограмма.

    Содержание

    1. I признак параллелограмма
    2. II признак параллелограмма
    3. III признак параллелограмма

    I признак параллелограмма

    По пересечению диагоналей и делению
    диагоналей в точке пересечения пополам.

    Четырехугольник является параллелограммом, если у четырехугольника
    диагонали пересекаются, и в точке пересечения делятся пополам.

    Признаки параллелограмма

    Если на рисунке 1 — BO = OD, MO = OK, то BMDK — параллелограмм.

    II признак параллелограмма

    По двум одинаковым параллельным сторонам.

    Четырехугольник является параллелограммом, если у четырехугольника
    две стороны равны и параллельны.

    Признаки параллелограмма

    Если на рисунке 2 — BM = DK, BM || DK, то BMDK — параллелограмм.

    III признак параллелограмма

    По попарно равным противоположным сторонам.

    Четырехугольник является параллелограммом, если у
    четырехугольника противоположные стороны попарно равны.

    Признаки параллелограмма

    Если на рисунке 3 — BM = DK, MD = BK, то BMDK — параллелограмм.

    В этой статье мы рассмотрели все три признака параллелограмма и теперь можем доказать, что некий четырехугольник параллелограмм. Осталось вспомнить что вы знаете про свойства параллелограмма и можно будет сказать вы знаете о нём всё.

    В следующей статье про площадь параллелограмма вы узнакете как её расчитать.

    Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Искусство быть мудрым это искусство знать чем можно пренебречь
  • Как можно доказать что треугольники равны
  • Интерактивная доска что можно на ней делать
  • Как можно доказать что треугольники подобные
  • Индивидуальный перевязочный пакет чем можно заменить